LOGARITMA
A. Pengertian Logaritma
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari mengenai bilangan
berpangkat. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah a^n=b, a disebut basis, n disebut pangkat, dan b sebagai hasil pemangkatan a oleh n.
Karena itu, terlebih dahulu siswa diminta untuk menentukan nilai-nilai dari bilangan berpangkat berikut:
Misal
2^4 =… ; 5^3 = … ; 10^2 = …
Sekarang jika persoalannya dibalik, yaitu apabila basis dan hasil dari pemangkatan sudah diketahui, maka berapa pangkat dari basis tersebut ?
Sebagai contoh ;
2^… = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Persoalan tersebut dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disingkat log).
2^… = 16 ditulis 2log 16 = …,
Diperoleh 2log 16 = 4 karena 24 = 16
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari mengenai bilangan
berpangkat. Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat adalah a^n=b, a disebut basis, n disebut pangkat, dan b sebagai hasil pemangkatan a oleh n.
Karena itu, terlebih dahulu siswa diminta untuk menentukan nilai-nilai dari bilangan berpangkat berikut:
Misal
2^4 =… ; 5^3 = … ; 10^2 = …
Sekarang jika persoalannya dibalik, yaitu apabila basis dan hasil dari pemangkatan sudah diketahui, maka berapa pangkat dari basis tersebut ?
Sebagai contoh ;
2^… = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya 16. Persoalan tersebut dapat dilakukan dengan memakai notasi logaritma (disingkat log).
2^… = 16 ditulis 2log 16 = …,
Diperoleh 2log 16 = 4 karena 24 = 16
Dapat disimpulkan bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan , yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai
berikut:
alog x = n ⇔ x = an
dengan:
a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.
berikut:
alog x = n ⇔ x = an
dengan:
a = bilangan pokok atau basis, a > 0; a ≠ 1;
x = numerus (yang dicari nilai logaritmanya), x > 0
n = hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.
Secara umum:
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an.
Jika x = an maka alog x = n, dan sebaliknya jika alog x = n maka x = an.
( alog x dibaca”logaritma x dengan basis a”)
B. Menentukan Logaritma Berbasis 10 dari Suatu Bilangan dengan Menggunakan Tabel Logaritma
Dalam perhitungan matematika, untuk logaritma biasanya digunakan basis 10. Pada logaritma dengan basis 10, bilangan pokok 10 biasanya tidak ditulis. Dalam tabel logaritma yang ditulis hanyalah bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantisa.
Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).
Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).
Contoh:
log 4 ,65 = 0, 667 0 sebagai karakteristik dan 667 sebagai mantisa
Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom ke dua sampai dengan kolom ke sebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,…,9. Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yaitu bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Bagian mantisa terdiri atas 4 angka (digit).
Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai numerusnya.
alog x = n
a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2
log 4 ,65 = 0, 667 0 sebagai karakteristik dan 667 sebagai mantisa
Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom ke dua sampai dengan kolom ke sebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0,1,…,9. Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yaitu bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10. Bagian mantisa terdiri atas 4 angka (digit).
Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai numerusnya.
alog x = n
a. Jika 1 < x < 10 karakteristiknya 0
b. Jika 10 < x < 100 karakteristiknya 1
c. Jika 100 < x < 1000 karakteristiknya 2
C. Sifat-Sifat Logaritma
Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma adalah sebagai berikut:
Sifat 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
Sifat-sifat yang berlaku pada logaritma adalah sebagai berikut:
Sifat 1
Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:
alog a = 1, alog 1 = 0, log 10 = 1
Sifat 2
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x + alog y = alog xy
Sifat 3
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:
alog x – alog y = alog x/y
Sifat 4
Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:
alog xn = n alog x
Sifat 5
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:
〖a^m〗_log〖x^n 〗 = n/m alog x
Sifat 6
Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:
alog x = p_logx /p_loga
Kalau p = x, menjadi :
alog x = 1/x_loga
Kalau p = x, menjadi :
alog x = 1/x_loga
Sifat 7
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:
alog x . xlog y = alog y
Sifat 8
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
a^(a_logx ) = x
Sifat 9
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:
a^(n^(a_logx ) ) = xn
D. Logaritma Bilangan Lebih dari 10 atau antara 0 dan 1
- Logaritma Bilangan Lebih dari 10
Hasil logaritma bilangan yang lebih dari 10 dapat diperoleh dari logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang telah dipelajari. Untuk memudahkan, langkah-langkah untuk menentukan logaritma lebih dari 10 ditunjukkan sebagai berikut :
1. numerus dinyatakan ke dalam bentuk baku a x 10n dengan 1≤ a < 10 dan n bilangan bulat positif
2. gunakan sifat 2 dan 4 logaritma,
log (a x 10n) = log a + log 10n
= log a + n. log 10 = n + log a
3. log a dicari dari tabel. Kemudian, dijumlahkan dengan bilangan n sehingga diperoleh logaritma bilangan yang dimaksud.
1. numerus dinyatakan ke dalam bentuk baku a x 10n dengan 1≤ a < 10 dan n bilangan bulat positif
2. gunakan sifat 2 dan 4 logaritma,
log (a x 10n) = log a + log 10n
= log a + n. log 10 = n + log a
3. log a dicari dari tabel. Kemudian, dijumlahkan dengan bilangan n sehingga diperoleh logaritma bilangan yang dimaksud.
- Logaritma Bilangan Antara 0 dan 1 (0 < x < 1)
Hasil logaritma bilangan antara 0 dan 1 dapat diperoleh dari logaritma bilangan antara 1 dan 10 dengan menerapkan sifat-sifat logaritma yang telah dipelajari. Untuk memudahkan, langkah-langkah untuk menentukan logaritma antara 0 dan 1 ditunjukkan sebagai berikut :
1. numerus dinyatakan ke dalam bentuk baku a x 10-n dengan 1≤ a < 10 dan n bilangan bulat negatif.
2. gunakan sifat 2 dan 4 logaritma,
log (a x 10-n) = log a + log 10-n
= log a – n. log 10 = log a – n
3. log a dicari dari tabel. Kemudian, dikurangkan dengan bilangan n sehingga diperoleh logaritma bilangan yang dimaksud.
1. numerus dinyatakan ke dalam bentuk baku a x 10-n dengan 1≤ a < 10 dan n bilangan bulat negatif.
2. gunakan sifat 2 dan 4 logaritma,
log (a x 10-n) = log a + log 10-n
= log a – n. log 10 = log a – n
3. log a dicari dari tabel. Kemudian, dikurangkan dengan bilangan n sehingga diperoleh logaritma bilangan yang dimaksud.
E. Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan
Jika hasil logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan tabel logaritma. Mencari bilangan dengan cara seperti itu disebut antilogaritma. Atau dengan kata lain Antilogaritma adalah penentuan bilangan yang hasil logaritmanya diketahui. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel anti logaritma. Jika hasil logaritma suatu bilangan antara 0 dan 1 maka bilangan itu mempunyai nilai antara 1 dan 10.
Jadi,
Jika hasil logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan tabel logaritma. Mencari bilangan dengan cara seperti itu disebut antilogaritma. Atau dengan kata lain Antilogaritma adalah penentuan bilangan yang hasil logaritmanya diketahui. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel anti logaritma. Jika hasil logaritma suatu bilangan antara 0 dan 1 maka bilangan itu mempunyai nilai antara 1 dan 10.
Jadi,
Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x < 10
F. Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan
Sebelumnya kita telah mempelajari antilogaritma antara suatu bilangan yang niainya antara 0 dan 1. Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menentukan antilogaritma suatu bilangan yang nilainya lebih dari 1. Cara yang digunakan sama seperti cara terdahulu hanya saja kita harus memperhatikan bagian karakteristiknya.
Sebelumnya kita telah mempelajari antilogaritma antara suatu bilangan yang niainya antara 0 dan 1. Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menentukan antilogaritma suatu bilangan yang nilainya lebih dari 1. Cara yang digunakan sama seperti cara terdahulu hanya saja kita harus memperhatikan bagian karakteristiknya.
Komentar
Posting Komentar